Рисуем сферу с помощью двух треугольников
244 #javascript#latex#three.js#webgl#интерактив#своими руками

Сфера в трехмерной графике обычно состоит из сотни-другой треугольников, при этом половина из них не видна человеку, поскольку их отсекает face culling и/или zbuffer.

Сфера всегда кажется наблюдателю кругом. Поэтому можно схитрить и вместо сферы нарисовать плоскость, которая всегда повернута к наблюдателю одной стороной. А уже на этой плоскости с помощью математики и какой-то матери изобразить текстуру, освещение и блик.

Нам нужно вычислить три главных параметра: позиция плоскости, её размер и трехмерные координаты сферы, спроецированной на эту плоскость. Получив эти параметры можно приступить к обману нашего наблюдателя.

С позицией плоскости все относительно просто: если вы рисуете ближнюю часть сферы, то это сдвиг на радиус от центра воображаемой сферы к камере.

(далее…)

Какие я использую плагины для WordPress — 2
105 #latex#wordpress

Пришло время обновить стаью «Какие я использую плагины для WordPress». С тех много воды утекло, я стал более опытным в программировании php/js/html. :) Некоторые плагины остались, появилось несколько новых, другие удалены за ненадобностью.

Akismet

Плагин для проверки комментариев к статьям на спам. На текущий момент на моем сайте заблокированно 13098 спам-комментариев. Идет в стандартной поставке WordPress. Категорически рекомендую его включать, иначе ваш блог, благодаря спамерам, моментально превратится в помойку.

Broken Link Checker

Плагин для проверки битых ссылок на вашем сайте. У меня он находится в выключенном состоянии и я его периодически включаю и запускаю проверку вручную. Выключен потому что тормозит админку WordPress.

Disable Emojis

Плагин для отключения новомодных смайликов, которые появились в версии WordPress 4.2. Причина отключения — графические смайлики не использую :)

Duplicator

Плагин для резервного копирования блога и его восстановления из резервной копии. Находится в выключенном состоянии. Периодически запускаю для создания слепка сайта. Откровенно говоря, ни разу не пользовался функцией восстановления.

FD Feedburner Plugin

Плагин для переадресации RSS потока на сайт feedburner.com. Хотя RSS, насколько я знаю, помаленьку отмирает.

FileBrowser

Плагин для редактирования файлов на сайте. Иногда бывает недоступна админка провайдера (с мобильника, например), поэтому пользуюсь им. Находится в выключенном состоянии.

Google XML Sitemaps

Плагин для создания карты сайта sitemap.xml, который используется поисковыми роботами и ворами контента.

Heartbeat Control

Плагин для отключения лишних запросов к wp-admin/admin-ajax.php, которые лишний раз нагружают сервер.

Inline Javascript Plugin

Плагин для вставки рабочего фрагмента на языке JavaScript. Примеры можно посмотреть в статьях:

Jetpack от WordPress.com

Плагин Jetpack предоставляет собой набор различных функций для сайта. Лично я использую в нем модули для подключения Android приложения WordPress, статистики сайта и мобильной темы. Также позволяет связать свой автономный блог с сайтом WordPress. По итогам года рисует замечательную статистику: «Ежегодный отчёт от Jetpack».

LiveJournal Crossposter

Плагин для автоматического кросс-постинга статей в ЖЖ. Периодически перестает нормально работать, но другие плагины работают еще хуже.

Mail From

Плагин для формирования обратного адреса писем, которые рассылает WordPress.

P3 (Plugin Performance Profiler)

Плагин для проверки скорости работы других плагинов. У меня он находится в выключенном состоянии и периодически включается для проверки. Именно с его помощью выяснил, что Broken Link Checker тормозной.

Pagination Rel Links

Плагин для проставления ссылок на соседние страницы. Этим иногда пользуется браузер, чтобы жрать трафик заранее загружать страницы, на которые пользователь может пойти.

PHP Code Widget

Плагин для вставки PHP кода в виджет. Установлен исключительно для показа погоды YoWindow. Пример кода можно посмотреть в статье: «Добавил виджет с погодой от YoWindow».

Theme Check

Плагин для проверки темы на соответствие стандартам WordPress. Установлен для проверки самописной темы. Простому обывателю бесполезен.

Tools for blog2k

Плагин для различного функционала для моего блога. Грузит стили для мобильной версии, загружает Яндекс.Метрику и Google Analytics, переносит загрузку jQuery в конец страницы. Также позволяет вставлять спойлеры вот такого вида:

Как тебе новый детектив?
Убийца — садовник!

W3 Total Cache

Плагин для кеширования. Позволяет объединять все скрипты в один файл и стили. Оптимизирует работу с БД. Создает статические версии всех страниц сайта, что позволяет ускорить загрузку в несколько раз. Рекомендую оценить свой блог на сайте GTmetrix, потом включить плагин и проверить блог еще раз.

WordPress Popular Posts

Плагин для показа популярных страниц сайта. Использую его в виде виджета справа.

WP-PostRatings

Плагин позволяет пользователям проставлять рейтинг каждой заметки. Процесс установки подробно, с картинками описывается в блоге: Константина Хмелёва. На всякий случай себе голосовать запретил. Понравилась статья? Поставьте звездочку :)

WP-Syntax

Плагин для подсветки синтаксиса. В основном использую его в рубрике «Программирование» для подсветки различного кода на C/C++, JavaScript, PHP и так далее.

WP LaTeX

Плагин для отображения формул в формате LaTeX (E=mc^2). Если кто не знает — LaTeX читается по-русски как «ЛаТеХ» и никакого отношения к резиновому изделию номер два не имеет. :)

Yet Another Related Posts Plugin

Плагин показывает похожие страницы. Использую в виде виджета справа. Этот виджет отображается только во время просмотра статьи.

Практическое применение B-сплайна (B-Spline) в программировании
2443 #latex#python#линейная интерполяция

Полтора дня разбирался в работе B-сплайна и как это применяется на практике. Хочу поделиться с вами результатами моих изысканий.

Немного теории

Допустим, у вас есть некий массив точек размером n. Что вам потребуется для работы B-сплайна:

  • определить количество интерполируемых точек (от этого зависит скорость работы, гладкость получившейся кривой и размер формулы для вычисления, количество точек равно k+1)
  • избавится от рекурсии формулы для вычисления

Общая формула для расчета коэффициентов:

    \begin{equation*}N_{i,k}(x)=\frac{x-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(x)+\frac{t_{i+k}-x}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}(x)\end{equation*}

Формула рекурсивная и заканчивается на k равном единице:

    \begin{equation*} N_{i,1}(x)=\left\{\begin{array}{cr}1&\text{if }t_i\leq x\textless t_{i+1}\\0&\mathrm{otherwise}\quad\end{array}\right.\end{equation*}

Пояснения к формуле:

  • если делитель получается равным или близким по значению к нулю, значит вся дробь равна нулю
  • параметр i — это индекс текущей точки
  • x — значение от i до i + 1 с нужным вам шагом (например, i равно 7, и нам нужно создать 3 точки для интерполяции, значит берем x равным 7.0, 7.5, 8.0)
  • t — неубывающий массив индексов

Вычисление элементов массива t:

    \begin{equation*} t=\left\{\begin{array}{ll}0,&\mathrm{if}\ i<k\\i-k+1,&\mathrm{if}\ k\leq{i}\leq{n}\\n-k+2,&\mathrm{if}\ i>n\end{array}\right. \end{equation*}

Практика

Мне нужно было интерполировать по четырем точкам, поэтому я заранее на бумажке вычислил формулу без рекурсии:

    \begin{equation*} N_{i,3}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&\mathrm{if}\ x\textless t_{i}\\\frac{x-t_i}{t_{i+2}-t_i}*\frac{x-ti}{t_{i+1}-ti},&\mathrm{if}\ t_i\leq x\textless t_{i+1}\\\frac{x-ti}{t_{i+2}-ti}*\frac{t_{i+2}-x}{t_{i+2}-t_{i+1}}+\frac{t_{i+3}-x}{t_{i+3}-t_{i+1}}*\frac{x-ti}{t_{i+2}-t_{i+1}},&\mathrm{if}\ t_{i+1}\leq x\textless t_{i+2}\\\frac{t_{i+3}-x}{t_{i+3}-t_{i+1}}*\frac{t_{i+3}-x}{t_{i+3}-t_{i+2}},&\mathrm{if}\ t_{i+2}\leq x\textless t_{i+3}\\0,&\mathrm{if}\ x\geq t_{i+3}\end{array}\right. \end{equation*}

Про бумажку я, конечно, соврал, мне было удобнее сделать функцию на питоне вот такого вида:

def div(a, b):
    try:
        return a / float(b)
    except ZeroDivisionError:
        return 0
 
def N(i, k, x, t):
    if 1 == k:
        if t[i] <= x < t[i + 1]:
            return 1.0
        return 0.0
    a = div(x - t[i], t[i + k - 1] - t[i]) * N(i, k - 1, x, t)
    b = div(t[i + k] - x, x[i + k] - x[i + 1]) * N(i + 1, k - 1, x, t)
    return a + b

После этого добавил условие k==2 и все возможные возвращаемые значения в зависимости от x, затем условие k==3, значения которого зависят от k==2. Может вам будет удобнее все это сделать на бумажке.

Наконец можно приступать к интерполяции. Формула такая:

    \begin{equation*} \sum\limits_{i}^{i+k}=\vec{p_{i}}N_{i,k}(x) \end{equation*}

Если индекс точки меньше нуля, берем нулевую точку, если индекс точки больше размера массива, то берем последнюю точку в массиве.

Небольшой пример

У нас есть некий массив точек, нам надо интерполировать с пятой по шестую точки с шагом 0.25, при этом $k$ равно 3 (значит для интерполяции нужно взять четыре точки).

    \begin{equation*} p_0=p_5*N_{0,3}(0.0)+p_6*N_{1,3}(0.0)+p_7*N_{2,3}(0.0)+p_8*N_{3,3}(0.0) \end{equation*}

    \begin{equation*} p_1=p_5*N_{0,3}(0.25)+p_6*N_{1,3}(0.25)+p_7*N_{2,3}(0.25)+p_8*N_{3,3}(0.25) \end{equation*}

    \begin{equation*} p_2=p_5*N_{0,3}(0.5)+p_6*N_{1,3}(0.5)+p_7*N_{2,3}(0.5)+p_8*N_{3,3}(0.5) \end{equation*}

    \begin{equation*} p_3=p_5*N_{0,3}(1.0)+p_6*N_{1,3}(1.0)+p_7*N_{2,3}(1.0)+p_8*N_{3,3}(1.0) \end{equation*}

Итого четыре новых точки вместо двух.

Спасибо за внимание, надеюсь нигде не ошибся. На несложные вопросы по теме могу ответить в комментариях.

Блочное умножение матриц для программистов
8133 #latex#матрица

Ребята, сегодня я узнал об очень интересном способе перемножения матриц и спешу поделиться с вами. Как известно, матрицы умножаются друг на друга строка на столбец или столбец на строку. Формула поэлементного умножения матриц размерностью 2 на 2 выглядит вот так:

\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12} \\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12} \\C_{21}&B_{22}\end{bmatrix},

где
\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12} \\C_{21}&B_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{11}*B_{11}+A_{12}*B_{21}&A_{11}*B_{12}+A_{12}*B_{22} \\A_{21}*B_{11}+A_{22}*B_{21}&A_{21}*B_{12}+A_{22}*B_{22}\end{bmatrix}

Оказывается, с помощью этой же формулы можно рекурсивно разложить умножение больших матриц. Возьмем для примера умножение двух матриц 4×4:

\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&b_{24}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}&b_{34}\\b_{41}&b_{42}&b_{43}&b_{44}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}\\c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}\end{bmatrix}

Каждую матрицу можно разбить на блоки 2×2. По четыре блока на каждую:

\begin{array}{|cc|cc|}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\\hline a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\ \ \ \begin{array}{|cc|cc|}b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&b_{24}\\\hline b_{31}&b_{32}&b_{33}&b_{34}\\b_{41}&b_{42}&b_{43}&b_{44}\end{array}\ \ \ \begin{array}{|cc|cc|}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\\hline c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}\\c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}\end{array}

Затем эти блоки можно умножить по формуле, приведенной в начале.

Пример для первого блока:

C_{11}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{13}&a_{14}\\a_{23}&a_{24}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{31}&b_{32}\\b_{41}&b_{42}\end{bmatrix}

Таким же чудесным образом можно разбить матрицу 16×16, 256×256, и вообще любую квадратную матрицу с количеством строк/столбцов равным степени двойки.

Зачем это делать, спросит вдумчивый читатель?

Допустим у вас есть метод, который очень быстро умножает матрицы 4×4 (есть такие операции в NEON, SIMD и прочих MMX) и вам надо ускорить умножение огромной матрицы 32×32.

Воспользуйтесь кодом из лекции MIT (смотреть с 44-й минуты):

и вызывайте вместо

C[0] += A[0] * B[0];

свой метод, а вместо проверки (n == 1) поставьте (n == 4). Кстати, количество умножений в этом случае будет равно 512, а поэлементно — 32768. Почувствуйте разницу!

Оптимизированная версия кода из лекции MIT:

public void Rec_Mult(double[] C, int offC, double[] A, int offA, double[] B, int offB, int n, int rowsize) {
    if (n == 1) {
        C[offC] += A[offA] * B[offB];
    }
    else {
        final int d11 = 0;
        final int d12 = n / 2;
        final int d21 = (n / 2) * rowsize;
        final int d22 = (n / 2) * (rowsize + 1);
 
        final int C11 = offC + d11;
        final int A11 = offA + d11;
        final int B11 = offB + d11;
 
        final int C12 = offC + d12;
        final int A12 = offA + d12;
        final int B12 = offB + d12;
 
        final int C21 = offC + d21;
        final int A21 = offA + d21;
        final int B21 = offB + d21;
 
        final int C22 = offC + d22;
        final int A22 = offA + d22;
        final int B22 = offB + d22;
 
        // C11 += A11 * B11
        Rec_Mult(C, C11, A, A11, B, B11, n / 2, rowsize);
        // C11 += A12 * B21
        Rec_Mult(C, C11, A, A12, B, B21, n / 2, rowsize);
 
        // C12 += A11 * B12
        Rec_Mult(C, C12, A, A11, B, B12, n / 2, rowsize);
        // C12 += A12 * B22
        Rec_Mult(C, C12, A, A12, B, B22, n / 2, rowsize);
 
        // C21 += A21 * B11
        Rec_Mult(C, C21, A, A21, B, B11, n / 2, rowsize);
        // C21 += A22 * B21
        Rec_Mult(C, C21, A, A22, B, B21, n / 2, rowsize);
 
        // C22 += A21 * B12
        Rec_Mult(C, C22, A, A21, B, B12, n / 2, rowsize);
        // C22 += A22 * B22
        Rec_Mult(C, C22, A, A22, B, B22, n / 2, rowsize);
    }
}
Пример работы на C/C++ для (n == 2)

#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
 
void Rec_Mult(int *C, const int *A, const int *B, int n, int rowsize)
{
    if (n == 2)
    {
        const int d11 = 0;
        const int d12 = 1;
        const int d21 = rowsize;
        const int d22 = rowsize + 1;
 
        C[d11] += A[d11] * B[d11] + A[d12] * B[d21];
        C[d12] += A[d11] * B[d12] + A[d12] * B[d22];
        C[d21] += A[d21] * B[d11] + A[d22] * B[d21];
        C[d22] += A[d21] * B[d12] + A[d22] * B[d22];
    }
    else
    {
        const int d11 = 0;
        const int d12 = n / 2;
        const int d21 = (n / 2) * rowsize;
        const int d22 = (n / 2) * (rowsize + 1);
 
        // C11 += A11 * B11
        Rec_Mult(C + d11, A + d11, B + d11, n / 2, rowsize);
        // C11 += A12 * B21
        Rec_Mult(C + d11, A + d12, B + d21, n / 2, rowsize);
 
        // C12 += A11 * B12
        Rec_Mult(C + d12, A + d11, B + d12, n / 2, rowsize);
        // C12 += A12 * B22
        Rec_Mult(C + d12, A + d12, B + d22, n / 2, rowsize);
 
        // C21 += A21 * B11
        Rec_Mult(C + d21, A + d21, B + d11, n / 2, rowsize);
        // C21 += A22 * B21
        Rec_Mult(C + d21, A + d22, B + d21, n / 2, rowsize);
 
        // C22 += A21 * B12
        Rec_Mult(C + d22, A + d21, B + d12, n / 2, rowsize);
        // C22 += A22 * B22
        Rec_Mult(C + d22, A + d22, B + d22, n / 2, rowsize);
    }
}
 
 
#define ROW_COUNT 8
 
 
void printMatrix(const char *name, const int *mat)
{
    printf("%s:\n", name);
 
    for (int i = 0; i < ROW_COUNT; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < ROW_COUNT; ++j)
        {
            printf("%4d", mat[i * ROW_COUNT + j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}
 
 
int main()
{
    const int matA[ROW_COUNT * ROW_COUNT] =
    {
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 1, 1, 4, 5, 6,
    };
 
    const int matB[ROW_COUNT * ROW_COUNT] =
    {
        2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
        3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
        0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
        4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2,
        4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2,
        0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
        0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
        1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
    };
 
    int matC[ROW_COUNT * ROW_COUNT];
    memset(matC, 0, sizeof(matC));
 
    Rec_Mult(matC, matA, matB, ROW_COUNT, ROW_COUNT);
 
    printMatrix("Matrix A", matA);
    printMatrix("Matrix B", matB);
    printMatrix("Multiply", matC);
 
    return 0;
}

Если немножко изменить код, то можно умножать неквадратные матрицы, но с шириной/высотой равной степени двойки (например, 16×4 на 4×16).

В принципе, блочный способ умножения можно применять к любым матрицам, просто разложение на блоки будет сложнее.

И напоследок — в процессе поиска информации по этому методу не нашел НИ ОДНОГО сайта на русском языке, который объяснял бы подобный метод для профанов. Одни только хвалебные оды самому себе в стиле: «реализовал блочное умножение матриц, алгоритм и реализацию ищите сами, у меня теперь все стало быстрее». Молодцы, так держать! Зачем делиться информацией, правда, ведь, да?

Извлекаем вектор и угол из матрицы поворота
1662 #latex#python#вектор#матрица

В продолжение темы кватерниона…

Итак, есть матрица 4×4, где три оси ортогональны друг другу (по-нашенски, по-деревенски — это означает, что три оси перпендикулярны каждая с каждой, представьте оси прямоугольной системы координат, так вот это оно и есть).

Выглядит матрица вот так:

M=\begin{bmatrix}A&E&I&M\\B&F&J&N\\C&G&K&O\\D&H&L&P\end{bmatrix}

В ней, как я уже рассказывал, «живут» три вектора ABC (ось X), EFG (ось Y), IJK (ось Z). Также есть три смещения вдоль XYZ — это M, N и O соответственно.

Для того, чтобы извлечь вектор и угол из этой матрицы я использую вот такую конструкцию (псевдокод):

def getAngleAxis(m):
    xx = m[A]
    yy = m[F]
    zz = m[K]
 
    # Сумма элементов главной диагонали
    traceR = xx + yy + zz
 
    # Угол поворота
    theta = acos((traceR - 1) * 0.5)
 
    # Упростим вычисление каждого элемента вектора
    omegaPreCalc = 1.0 / (2 * sin(theta))
 
    # Вычисляем вектор
    w.x = omegaPreCalc * (m[J] - m[G])
    w.y = omegaPreCalc * (m[C] - m[I])
    w.z = omegaPreCalc * (m[E] - m[B])
 
    # Получаем угол поворота и ось, 
    # относительно которой был поворот
    return (theta, w)

Мне довелось применять этот метод на матрице, где вектора ABC, EFG и IJK нормализованы. Масштаб хранится отдельно. Если вы храните масштаб внутри матрицы, то перед применением формулы надо нормализовать вектора ABC, EFG и IJK).

Блог Евгения Жирнова