Простыми словами о представлении форматов float32 и double64 в памяти компьютера

Форматы float32 и double64 на пальцах

Вкратце, идея довольна простая: исходное число необходимо привести к нормализованному виду 1.NNN2 в двоичной системе счисления с помощью битового сдвига, затем записать дробную часть этого числа в мантиссу, а количество сдвигов в экспоненту. И завершающим штрихом сохранить знак исходного числа.

Формат float32 имеет такой вид: 1s8e23m, где s — количество бит под знак, e — экспонента, m — мантисса. Для формата double64 вид такой — 1s11e52m.

Первый бит кодирует знак числа. Если это ноль, число положительно, в противном случае число отрицательное.

Затем идут восемь бит экспоненты. Если совсем простыми словами, то экспонента — это количество сдвигов запятой в исходном числе, представленном в двоичном виде, для получения нормализованного числа вида 1.NNN2. Чтобы получить количество сдвигов из этих восьми бит надо отнять 12710. Отрицательная экспонента — сдвиг влево, положительная — сдвиг вправо.

После экспоненты следуют 23 бита мантиссы. Это дробная часть числа 1.NNN2.

А теперь практическая часть!

Перевод десятичной дроби во float32

Попробуем с полученными знаниями закодировать число -2.62510.

В двоичном виде это число имеет вид 10.1012. Для получения нормализованного числа необходимо запятую сдвинуть влево на один разряд. Получим число 1.01012 и экспоненту равной 1.

Для сохранения экспоненты к ней надо прибавить 12710. Получится 12610 или 011111102 в двоичном виде.

Берем нормализованное число 1.01012 и выделяем мантиссу 01012. Для сохранения этого числа, которое занимает 4 бита, надо добавить нули справа до 23 бит. Получится число 010100000000000000000002.

Знак числа отрицательный, значит первый бит равен единице.

Итог: s=12 e=011111102 m=010100000000000000000002, с чем я вас и поздравляю.

Обратный перевод: из float32 в число

Разберем пример из википедии. Есть число во float32 0xC000000016. В двоичной системе это будет 110000000000000000000000000000002.

Разобъем его на компоненты: s=12 e=100000002 m=000000000000000000000002.

Мантисса равна нулю, но, как уже было сказано выше, сохраняется только дробная часть мантиссы, а единица отбрасывается. Значит мантисса равна 1.000000000000000000000002.

Экспонента равна 100000002 или 12810, отнимаем 12710 и получается, что экспонента равна единице.

Возьмем мантиссу и сдвинем точку вправо на эту единицу, получится 10.00000000000000000000002, это 210 в десятичной системе счисления.

Знак числа равен единице, значит исходное число отрицательное.

Решение: -210, что и требовалось доказать.

P.S. Маленькие циферки справа от числа обозначают систему счисления, если кто не знает. Пример: два в десятичной системе — 2₁₀, один‑ноль‑один в двоичной системе — 101₂. Кстати, красным цветом выделен знак числа, зелёным — экспонента, а мантисса, соответственно, синим.

Полезные ссылки

• видео «Как работают числа с плавающей точкой» с канала Alek OS (рекомендую к просмотру)
• подробное описание формата IEEE754 на русском языке
• онлайн калькулятор для перевода десятичных дробей в двоичные