Линейная интерполяция и кривая Безье

Как-то после обеда прочитал статью на gamedev.ru, а потом в комментариях к статье нашел другую и неожиданно обрел знание: как работают кривая Безье и в чем собственно суть. И чтобы не забыть, сделал эту запись в блоге.

Вообще я сразу теряюсь, когда в статье наталкиваюсь на математические формулы и сразу пытаюсь их пролистать, а тут решил вникнуть и внезапно осенило!

Линейная кривая

Самая простая кривая Безье называется «линейная кривая», хотя она не кривая, а очень даже прямая. Это банальная линейная интерполяция от точки P0 до P1. Формула этой кривой вот такая: P=(1-t)*P_0+t*P_1
Параметр t у нас живет в пределах от нуля до единицы, заместо P подставляем X или Y и получаем искомое значение.

Программистами используется та же самая формула, только в профиль (убирается лишнее умножение): P=P_0+t*(P_1-P_0)

Квадратичная кривая

Следующая по сложности идет «квадратичная кривая». Она строится по трем точкам P0, P1 и P2. Оказывается, она представляет собой линейную интерполяцию двух простых кривых Безье по точками P0, P1 и P1, P2 соответственно. На мой взгляд звучит ужасно сложно, в голове рисуются страшные формулы, но на деле выходит довольно просто.

Формула первой кривой: A=(1-t)*P_0+t*P_1
Формула второй кривой: B=(1-t)*P_1+t*P_2
Линейная интерполяция: P=(1-t)*A+t*B

После замены A и B получается такой монстр: (1-t)*((1-t)*P_0+t*P_1)+t*((1-t)*P_1+t*P_2)

Раскрываем, сокращаем, упрощаем: P=P_0*(1-t)^2+2*t*P_1*(1-t)+t^2*P_2

Касательная к квадратичной кривой

Если записать по науке, то формула выше такая: f(t)=P_0*(1-t)^2+2*t*P_1*(1-t)+t^2*P_2

Чтобы найти касательную к кривой Безье в любой точке t, надо вычислить производную этой функции (подсмотрено в википедии): f'(t)=2*(1-t)*(P_1-P_0)+2*t*(P_2-P_1)

Для чего может пригодится касательная:

  • поворачиваем касательную на 90 градусов, делим на длину и получаем нормаль к кривой Безье в точке t
  • берем некий шаг \Delta t, вычисляем касательную для каждой t от нуля до единицы с шагом \Delta t, суммируем длину этих касательных, умноженную на \Delta t, получаем общую длину кривой Безье, точность которой зависит от \Delta t

Если я ничего не напутал, то формула для вычисления длины выглядит вот так:

\sum\limits_{t=0}^1=|f'(t)|*\Delta t

Затем можно рассмотреть «кубическую кривую», но это уж как-нибудь сами. Вот собственно и все, чем хотел поделиться… Не судите строго.

One thought on “Линейная интерполяция и кривая Безье

  1. Обнаружил ссылку на свою статью на форуме Касательная к кривой Безье 3 степени. Там человек пытается к кубической кривой найти касательную по формуле квадратной кривой. Так делать нельзя! Производная к формуле квадратичной кривой находит касательную только к этой кривой и точка!

    Формула касательной возвращает направление касательной к кривой в данной точке. Получившийся вектор необходимо нормализовать.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.