Страница 3 | Категория "Математика"

Как подсчитать на четырех пальцах до пятнадцати

19 сентября 2012 7 #математика

Кисть левой руки

В этом нам поможет двоичная система счисления.

Берем левую руку (изображение скелета из википедии) и сжимаем в кулак. Это ноль. Поднимаем указательный палец, это единица. Сжимаем в кулак — опять ноль. Поднимаем средний палец (многие делают это не задумываясь) — это двойка. Сжимаем кулак и (внезапно!) снова ноль. Указательный и средний (типа V) — это три. И так далее…

…l 0001₂=1₁₀
..l. 0010₂=2₁₀
..ll 0011₂=3₁₀
.l.. 0100₂=4₁₀
.l.l 0101₂=5₁₀
.ll. 0110₂=6₁₀
.lll 0111₂=7₁₀
l… 1000₂=8₁₀
l..l 1001₂=9₁₀
l.l. 1010₂=10₁₀
l.ll 1011₂=11₁₀
ll.. 1100₂=12₁₀
ll.l 1101₂=13₁₀
lll. 1110₂=14₁₀
llll 1111₂=15₁₀

Что такое матрица 4×4 в трехмерных играх?

3 апреля 2011 1K #математика,#матрица

Когда я впервые столкнулся с преобразованием координат в программировании игр — это был, мягко говоря, шок. Высшую математику в техникуме я усердно прогуливал, а если присутствовал, то только для галочки. Потому что мне неинтересно вручную рисовать матрицы, потом их умножать, транспонировать, инвертировать и находить детерминант или определитель.

Ну согласитесь — нормального человека нельзя заставить умножать и складывать 32 числа непонятно для какой цели.. Тупо делать это только ради оценки в журнале. Я так не умею, а Вы?

Итак, что же такое матрица 4×4? Какую роль она играет в трехмерных играх? Зачем эти 16 чисел складывать и умножать? СКАНДАЛЫ, ИНТРИГИ, РАССЛЕДОВАНИЯ.. Читайте дальше в моем журнале после короткой рекламы.

Рассмотрим абстрактную матрицу, в которой злой гений зашифровал положение объекта в трехмерном мире:

$M=\begin{bmatrix}A&E&I&M\\B&F&J&N\\C&G&K&O\\D&H&L&P\end{bmatrix}$

Начнем расшифровку.. В матрице присутствуют три вектора, вот они перед Вами:

$\vec{X}=(A, B, C)$
$\vec{Y}=(E, F, G)$
$\vec{Z}=(I, J, K)$

Как нетрудно догадаться, это вектора осей системы координат. Длина этих векторов — это масштаб объект вдоль каждого вектора.

Рассмотрим такую матрицу:

$M=\begin{bmatrix}2&0&0&M\\0&3&0&N\\0&0&0.5&O\\D&H&L&P\end{bmatrix}$

Что следует из этой матрицы? Во-первых, по X объект увеличен в два раза, по Y в три раза, по Z уменьшен в два раза.

Смотрим дальше. Числа M, N и O — это смещение объекта вдоль этих векторов (по X, Y и Z соответственно).

С остальными числами я пока не разобрался. Число P практически всегда равно единице, остальные — нулю. Есть подозрение, что они имеют отношение к проецированию трехмерного объекта на двухмерный экран.

Ссылка на подробный обзор матриц и операций на ними из комментариев: http://www.opengl-tutorial.org/ru/beginners-tutorials/tutorial-3-matrices/

Что такое кватернион — объяснение человеческим языком

4 сентября 2010 8K #вектор,#кватернион,#математика

Для закончивших ВУЗ данный вопрос не представляет проблемы, а для нас, учащихся ПТУ и техникумов, это тайна за семью замками. Особенно если вы, как и я, постоянно прогуливали высшую математику.

Цитата из википедии: Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, предложенная Гамильтоном в 1843 году.. Вы что-нибудь поняли? Значит дальше вам читать не надо, до свидания! Заходите еще..

Кватернион — это ось, относительно которой будем вращать объект и угол, на который мы будем вращать объект относительно этой оси. Всего у кватерниона четыре компоненты: X, Y, Z и W. XYZ — та самая ось поворота (нормализуем и каждый компонент умножаем на синус половины угла), W — угол поворота (который задается через косинус половины угла).

Псевдокод получения кватерниона из угла и оси:

def quatFromAngleAxis(self, a, x, y, z):
    # Длина вектора xyz
    l = sqrt(x * x + y * y + z * z)
    # Нормализуем вектор xyz
    x = x / l
    y = y / l
    z = z / l
    # Синус половины угла (a - угол в радианах)
    hSin = sin(a / 2)
    # Заполняем xyz
    self.x = x * hSin
    self.y = y * hSin
    self.z = z * hSin
    # Косинус половины угла
    hCos = cos(a / 2)
    # Заполняем w
    self.w = hCos

Важно помнить, что кватернион не задает результат, через него выражается действие, которое можно применить к какому-либо объекту в пространстве.

Ещё более простым языком: представьте, что у вас есть некий объект, допустим яблоко, вы протыкаете его спицей и вращаете. Так вот спица — это ось вращения, её направление — наш вектор (x, y, z), а угол вращения — это наш угол a, который означает насколько вы повернули яблоко на спице по часовой стрелке или против.

Если вас приводит в недоумение термин «матрица», рекомендую почитать заметку: Что такое матрица 4×4 в трехмерных играх?

Углы Эйлера. Крен (roll), тангаж (pitch) и рыскание (yaw)

1 сентября 2010 4K #видео,#математика

Наглядно об углах Эйлера. Сначала рыскание (yaw), затем тангаж (pitch), после этого крен (roll)

Определитель матрицы 3×3

7 июля 2010 39 #математика,#матрица

Определитель матрицы 3×3 вычисляется следующим образом:

$\Delta(A)=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} = a_{11} \begin{bmatrix} a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} - a_{12} \begin{bmatrix} a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33} \end{bmatrix} + a_{13} \begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32} \end{bmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{23}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

Список постов в категории "Математика"